Коротко: на координатной прямой координата точки — это число, которое показывает, на сколько единичных отрезков и в какую сторону от нуля она находится. На плоскости из точки опускают перпендикуляры на оси: число на оси Ox — абсцисса x, число на оси Oy — ордината y. Записывают так: A(x; y), сначала x, потом y.
Координаты точки на прямой
Координатная прямая — прямая с выбранным началом отсчёта (точка O, число 0), единичным отрезком и положительным направлением (обычно вправо). Каждой точке соответствует одно число — её координата.
- Точки справа от нуля имеют положительные координаты, слева — отрицательные.
- Модуль координаты равен расстоянию от точки до начала отсчёта в единичных отрезках.
Пример. Единичный отрезок — одна клетка. Точка A находится на 4 клетки правее нуля — A(4). Точка B на 3 клетки левее — B(−3). Если единичный отрезок равен двум клеткам, а точка C стоит на 5 клеток правее нуля, то её координата 5 : 2 = 2,5, то есть C(2,5).
Координатная плоскость
Прямоугольная (декартова) система координат состоит из двух перпендикулярных координатных прямых, пересекающихся в начале координат O(0; 0):
- ось Ox — горизонтальная, ось абсцисс;
- ось Oy — вертикальная, ось ординат.
Положение точки задаётся парой чисел (x; y). Порядок важен: точки (2; 5) и (5; 2) — разные.
Как найти координаты точки на плоскости: алгоритм
- Из точки проведите перпендикуляр (вертикальную линию) к оси Ox. Число в основании перпендикуляра — абсцисса x.
- Из точки проведите перпендикуляр (горизонтальную линию) к оси Oy. Число на оси Oy — ордината y.
- Учтите единичный отрезок: если он больше одной клетки, разделите количество клеток на его длину.
- Запишите ответ в виде A(x; y).
Пример 1. Точка M расположена на 3 единицы правее начала координат и на 2 единицы выше. Перпендикуляр к Ox попадает в 3, к Oy — в 2. Ответ: M(3; 2).
Пример 2. Точка K на 4 единицы левее и на 1 единицу ниже начала координат. Ответ: K(−4; −1).
Пример 3. Точка P лежит на оси Oy на 5 единиц выше нуля. Её абсцисса 0, ответ: P(0; 5).
Координатные четверти и знаки координат
Оси делят плоскость на четыре четверти. Нумерация идёт против часовой стрелки начиная с правой верхней.
| Четверть | Где расположена | Знак x | Знак y | Пример |
|---|---|---|---|---|
| I | справа сверху | + | + | (3; 2) |
| II | слева сверху | − | + | (−3; 2) |
| III | слева снизу | − | − | (−3; −2) |
| IV | справа снизу | + | − | (3; −2) |
По знакам координат можно сразу сказать, в какой четверти лежит точка, даже не строя её. Например, точка (−7; 12) лежит во II четверти.
Точки на осях
- Если точка лежит на оси Ox, её ордината равна нулю: (x; 0).
- Если точка лежит на оси Oy, её абсцисса равна нулю: (0; y).
- Начало координат — точка O(0; 0).
Точки на осях не относят ни к одной из четвертей.
Частые ошибки
- Путают порядок: первой всегда пишется абсцисса x (по горизонтали), второй — ордината y (по вертикали).
- Считают клетки вместо единичных отрезков, когда единичный отрезок длиннее одной клетки.
- Теряют знак минус у точек слева от оси Oy или ниже оси Ox.
- Для точки на оси пишут одно число вместо пары: правильно (0; 5), а не просто 5.
Полезные формулы
Когда координаты точек известны, по ним можно вычислять:
- середину отрезка AB: x = (x₁ + x₂) / 2, y = (y₁ + y₂) / 2;
- расстояние между точками: d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²).
Например, для A(1; 2) и B(4; 6): середина — (2,5; 4), расстояние — √(3² + 4²) = 5.
Итог
На координатной прямой координата точки — одно число со знаком: расстояние от нуля в единичных отрезках. На плоскости из точки опускают перпендикуляры на обе оси и получают пару (x; y): сначала абсцисса, потом ордината. Знаки координат показывают четверть: I (+; +), II (−; +), III (−; −), IV (+; −), а у точек на осях одна из координат равна нулю.
Источники: школьные учебники математики 6 класса и алгебры 7 класса; Математический энциклопедический словарь (статья «Координаты»).
